Уравнение: $5^2\cos^2(x)-2\sin(2x)=0.2$

В данной статье мы рассмотрим уравнение $5^2\cos^2(x)-2\sin(2x)=0.2$ и попытаемся найти его решение.

Для начала, давайте преобразуем это уравнение:

$25\cos^2(x)-2\sin(2x)=0.2$

Заметим, что $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Воспользуемся этим фактом:

$25\cos^2(x)-2(2\sin(x)\cos(x))=0.2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$25\cos^2(x)-4\sin(x)\cos(x)=0.2$

Теперь, чтобы дальше разрешить это уравнение, нам нужно использовать тригонометрические тождества. В данном случае, мы можем воспользоваться формулой $\sin^2(x)+\cos^2(x) = 1$.

Перепишем уравнение, применив данную формулу:

$25(1-\sin^2(x))-4\sin(x)\cos(x)=0.2$

Упростим:

$25-25\sin^2(x)-4\sin(x)\cos(x)=0.2$

Теперь мы можем выразить $\sin(x)\cos(x)$ через $\sin^2(x)$. Воспользуемся формулой $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$:

$25-25\sin^2(x)-2\sin(2x)=0.2$

Применим данную формулу:

$25-25\sin^2(x)-2(2\sin(x)\cos(x))=0.2$

Раскроем скобки и упростим:

$25-25\sin^2(x)-4\sin(x)\cos(x)=0.2$

Теперь у нас есть уравнение, в котором присутствуют только синусы и косинусы. Мы можем использовать дополнительные тригонометрические тождества, чтобы преобразовать его в более простое уравнение.

Для этого воспользуемся тождеством $\sin^2(x)+\cos^2(x) = 1$, чтобы избавиться от $\cos^2(x)$:

$25-25(1-\cos^2(x))-4\sin(x)\cos(x)=0.2$

Упростим:

$25-25+25\cos^2(x)-4\sin(x)\cos(x)=0.2$

Избавимся от лишних слагаемых:

$25\cos^2(x)-4\sin(x)\cos(x)=0.2$

Упростим:

$5^2\cos^2(x)-2\sin(2x)=0.2$

Мы получили исходное уравнение, что означает, что уравнение верно для любого $x$.

Таким образом, итоговым решением уравнения $5^2\cos^2(x)-2\sin(2x)=0.2$ является все действительные числа.